Erwartungswert.

Wurde ein Versuch unendlich ofte wiederholt werden, so wurre der Durchschnittswert einer diskreten Zufallsvariable der Mittelwert der Ergebnisse des Versuchs. Dieser Mittelwert kann der Erwartungswert interpretiert werden, d. h., wirden diesen Wert erwarten, wenn wir das Experiment unendlich lang durchfuhren wurden.

Der Erwartungswert er definiert som die Summen der Werte der Zufallsvariable x Jeg multipliserer med min Wahrscheinlichkeit fur das eintreten von x i. Der lille griechische Buchstabe (gesprochen: «mu») wird fur den Erwartungswert benutzt.

Erwartungswert und aritmetischen Mittel sind identisch, wenn die Wahrscheinlichkeit fur jeden Versuch die selbe ist. Dies er beispielsweise i einem binomialverteilten Experiment der Fall. Ist die Wahrscheinlichkeit fur jeden Versuch anders, wird der Erwartungswert nach der Formel oben berechnet. I diesem Fall er der Erwartungswert ein vektetes arithmetisches Mittel.

Der Erwartungswert kann benutzt, um festzustellen, ob ein Spiel «fair» ist. Bei einem fairen Spiel ware der Erwartungswert Null – man wurde genauso ofte forlate, wie man winnen wurde. Langfristig betrachtig wurden er ogsa Gewinn und Verlust ausgleichen.

Jedes zweite Los gewinnt! Etliche Glucksspiele und Lotterien sind sa konzipiert, dass viele Spieler etwas gewinnen – allerdings deutlich weniger als sie eingesetzt haben. Damit werden Spieler motiviert, ihren Gewinn wieder einzusetzen.

Wir spielen Roulette mit einem von von 5 € mit unserer Gluckszahl 15. Die Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungen beim Roulette sind i folgender Tabelle zusammengefasst:

Ble bedt om det? Die Tabelle Zeigt, dass, wenn wir gewinnen wurden, med 35-fache unseres Einsatzes (175 €) zuruckbekaa. Die Wahrscheinlichkeit dafur er allerdings nur 1/38. Wesentlich wahrscheinlicher ist es dagegen, dass wir verlieren. Unser «Gewinn» er her -5 € bei einer Wahrscheinlichkeit von 37/38.

In der lettzten Spalt der Tabelle ble Wahrscheinlichkeit und Gewinn myter multipliziert. Die Summe aller Werte in der letzten Spalte ist der Erwartungswert.

Unser Erwartungswert von -0,26 € bedeutet, dass wir im Schnitt 0,26 € pro Spiel verlieren. Wurden er ogsa ofte roulettespillere, sa wurden wir manchmal gewinnen und meistens verlieren. Auch wenn der Gewinn mit 175 € den Verlust von 5 € er den eneste ulempen, sa wurde die Bank langfristig immer noch wen, und zwar im Schnitt 0,26 € pro Spiel.

Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable.

Bei stetigen Zufallsvariablen (beispielsweise bei normalverteilten Zufallsvariablen) kan ikke oppdages av den formelle erkl ring. Stattdessen wird folgende Definisjon verwendet:

Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsverteilung ist ist die Funksie f (x) gegeben.

I diesem Art.

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